以下內容轉自舊版「教師天地」
k246發表－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
例題: 西餅店裏,每件蛋糕售4元,媽媽買了3件,需付多少元?
解題: 需付: 4x3
=12(元)
教學時的理解方法:因為一件蛋糕的價錢係4元是相同數,而3件是個數,所以4乘
3等於12元.
根據中國的數學改革及文獻--最新數學課程標準,也可以用方法二
方法二如下
也是對的)
解題: 需付: 3x4
=12(元)
本人懇請各位老師賜教,應如何教導學生理解方法是對的,從甚麼角度來理解呢?
kwu發表－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
老師:
我嘗試來回答... 嗯...
我的思維是:
每件cake4元, 媽媽買了3件cake, 即: 4x3 需要付12元.
又,
媽媽買了3件cake, 每件cake4元, 即: 3x4 需要付12元.
所以, 兩種思考方法都應該是可以的. yeah... (請指正)
k246發表－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
我都同意您的想法,但在數學邏輯,本人還未找到支持的數學理據...
希望有數學專教能賜教,謝謝
ngaiu發表－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
方法一: 定律與規約的分別\r
按照內地的新課標解讀 , 新數學教材的其中一個改革方法是只對定理等作出規範(如直角是90度) , 對於習慣性的規約 , 教師教學時可以靈活處理 .
以這位老師引的例題為例 , 我們以前的書會教標準答案是 4元x3件=12元 , 但在美國會有教科書教學生3件x4元=12元 .
就好似有些國家開車是左上右落 , 有些是右上左落 , 這些都只是在特定的環境下才是正確的規約 , 而不是永恆不變的定律 , 在鼓勵學生發揮思維空間的精神下 , 新課標是允許學生用自己的方法取得答案 .
方法二: 乘法交換律
乘法交換律是指被乘數與乘數的位置交換，而其結果不變(axb=bxa)的規律，乘法交換律指的是不必將兩個算式數值化，就可以預期它們的結果必然會相等，也就是說，每一個乘法問題，都會有兩種不同的解法(可以彈性地對調單位量與單位數的角色)，如果有一種解法是透過累積3個4的方式得到答案，就一定會有另一種累積4個3也可以得到答案的解法，所以 「3x4」的積數會和「4x3」的積數答案一定會相同。
先以「3行4列的矩陣排列」問題為例，學童可能有兩種解題策略，第一種是以橫列的4個元素為單位量的解法(有3個4，或4的3倍)，第二種是以直行的3個元素為單位量的解法(有4個3，或3的4倍)，第一種解題活動可以將結果摘要記成「4x3=12」，第二種解題活動可以將結果摘要地記成「3x4=12」，因為它們都是解決同一個問題的合理解法，所以不必算出這兩種解法的答案，就可以知道「3x4」的積數會和「4x3」的積數一定會相等。
再以問題「一隻青蛙有4條腿，3隻青蛙共有幾條腿？」為例，學童也可能有兩種解題策略，第一種是多種學童可能出現的解法，以一隻青蛙的腿數(4條)為單位量，算出3個4是12(4的3倍是12)，這種解法可以稱之為全屍的解法，第二種是比較少出現的解法，學童以青蛙的一個部位的腿數(3隻)為單位量(3隻青蛙有3條左前腿，3條左後腿，3條右前腿，3條右後腿)，算出4個3是12(3的4倍是12)，這種解法可以稱之為分屍的解法，全屍的解法可以將結果摘要地記成「4x3=12」，分屍的解法可以將結果摘要地記成「3x4=12」，因為它們都是算3隻青蛙腿數的合理方法，所以不必筧出這兩種解法的答案，就可以知道3x4」的積數會和「4x3」的積數答案一定會相同。
最後，再以問題「一枝鉛筆賣4元，3枝鉛筆賣多少錢？」為例，學童也可能有兩種解題策略，第一種是學童經常使用的解法，學童以一枝鉛筆的淺數(4元)為單位量，算出個個4是12元，這種解法可以稱之為「一枝一枝」的買法，買第1枝鉛筆付4元，第2枝鉛筆付4元，第3枝鉛筆也付4元；第二種是學童不可能出現，但也是一種合理的解法，以每一枝鉛筆的第一個1元(共有3個1元)為單位量，算出共有個3元，合起來是12元，這種解法可以稱之為「分期付款」的買法，共分四期付款，第一期每枝筆付1元，3枝筆共付3元，第二期每枝筆再付1元，3枝筆共付3元，第三期每枝筆再付1元，3枝筆共付3元，第四期每枝筆再付1元，3枝筆共付3元。「一枝一枝」的買法可以摘要地記成「4x3=12」，「分期付款」的買法可以摘要地記成「3x4=12」，因為它們都是買3枝鉛筆的合理買法，所以不必算出這兩種買法的錢數，就可以知道「3x4」的積數會和「4x3」的積數答案一定會相同。
由上面的描述可以知道，乘法交換律指的是每一個乘法問題都有兩種做法。如果以4為單位量，透過累積3個4的方式得到答案，就一定可以先在3個4中，一次抽取一個1，合成一個新的單位量3，抽取四次後(用盡4中所有的1)，就可以形成4個3，因此也可以透過累積4個3的方式得到答案，所以不必算出答案，就可以知道「3x4」的積數會和「4x3」的積數答案一定會相同。換句話說，乘法交換律指的是可以彈性互換單位量(被乘數)與單位數(乘數)的角色，而不影響對全體的意義的掌握。教師請注意，乘法交換律並不是描述一種解法可以有兩種不同的記法，例如當學童使用以4為單位量(共有3個4)的方式解題時，他可以將解題過程與結果記成「4x3=12」，也可以記成「3x4=12」(因為答案一樣)，這種想法是混淆乘法記錄格式的意義。
方法三: 用矩陣
例如: 叫學生自己分別畫 3 + 3 + 3 + 3和4 + 4 + 4, 然後透過討論自己去探究結果為什麼會一樣 .
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本帖最後由 editor 於 2009-5-13 16:03 編輯 ]
